√ Program linier (definisi, rumus, contoh soal) – Metropro

Pembahasan kali ini tentang linear programming.

Tentu kalian mempelajari tentang persamaan garis? Apa yang kamu pelajari dan persamaan garis?

Pada materi persamaan garis, Anda telah mempelajari cara menggambar garis pada bidang Cartesian.

Pengetahuan tentang persamaan garis akan digunakan dalam materi pemrograman linier ini.

Selain persamaan linier, materi lain yang digunakan adalah tentang pertidaksamaan linier dua variabel.

Ini penjelasannya.

Materi pemrograman linier

Pernahkah Anda mendengar tentang pemrograman linier?

Pemrograman linier adalah salah satu metode untuk menentukan solusi optimal dari masalah linier.

Dalam program linier terdapat fungsi objektif atau fungsi tujuan. Syarat, limit, dan kendala dalam program linier merupakan bentuk pertidaksamaan linier.

Dengan menggunakan program linier, selanjutnya kita akan membahas penerapan program linier dalam kehidupan sehari-hari.

Program linear dalam kehidupan sehari-hari

Pemrograman linier banyak diterapkan di berbagai bidang. Dalam bidang matematika dan ekonomi, linear programming dapat digunakan sebagai salah satu teknik optimalisasi produksi di sebuah pabrik atau perusahaan.

Di bidang farmasi, pemrograman linier juga digunakan untuk menentukan dan memodelkan optimalisasi produksi obat.

Hampir semua bidang menggunakan pemrograman linier sebagai metode optimasi.

Dengan menggunakan program linier, kegiatan (misalnya produksi pabrik, produksi obat, dll) akan lebih optimal, sehingga perusahaan akan lebih untung dibandingkan dengan program non-linier.

Berikut akan dijelaskan langkah-langkah penentuan nilai optimal menggunakan linear programming.

Langkah-langkah program linier

Berikut adalah langkah-langkah optimasi menggunakan teknik linear programming.

  1. Tentukan variabel pembatas.
  2. Tentukan fungsi tujuan.
  3. Merakit model dari variabel pembatas.
  4. Gambarlah grafik dari model yang telah dibuat.
  5. Tentukan titik potong grafik tersebut.
  6. Menentukan daerah pemukiman yang sesuai.
  7. Hitung nilai optimal dari fungsi tujuan.

Selanjutnya kita akan membahas contoh masalah program linear. Baca juga fungsi komposisi.

Contoh soal program linier

1. Ada seorang penjual buah naga hasil panen kebunnya. Ia menyewa 30 truk dan kendaraan colt dengan total muatan 300 karung. Setiap truk hanya dapat menampung 15 kantong dan Colt hanya dapat mengangkut 10 kantong. Tentukan bentuk model matematika.

Diskusi

Dalam mengerjakan soal cerita seperti ini, kita dapat membuat contoh truk dan kuda jantan. Anggap truk sebagai fungsi dari xa colt sebagai fungsi dari y. Selain itu, jumlah karung yang ditampung adalah 300 karung, dengan masing-masing truk mampu menampung 15 karung dan 10 karung colt. Sehingga kita dapat menuliskan model matematisnya seperti di bawah ini.

Fungsi banyak karung = 15x + 10y = 300

Fungsi banyak karung = 3x + 2y = 60

Fungsi kuantitas = x + y = 30

Jadi model matematika dari soal tersebut adalah F (jumlah): x + y = 30 dan F (banyak karung): 3x + 2y = 60.

2. Lendra pergi berbelanja ke pasar. Dia membeli beberapa rambutan dan pepaya. Jumlah yang dibeli minimal 20 potong, dimana maksimal 12 rambutan. Harga rambutan per buah 5 ribu dan pepaya 2 ribu. Dia memiliki uang tunai 40 ribu. Jika Lendra membeli rambutan dan b pepaya, tentukan bentuk model matematikanya

Diskusi

Seperti pada soal sebelumnya kita buat contoh untuk pembelian dan jumlah buah, dimana rambutan adalah fungsi dari x dan pepaya adalah fungsi dari y.

Fungsi pembelian: 5000x + 2000y = 40000

Fungsi pembelian: 5x + 2y = 40

Fungsi nomor buah: x + y ≥ 20

Fungsi maksimal rambutan: x ≤ 12

Ini membentuk model matematika untuk semua informasi dalam masalah.

3. Sebuah persamaan x + y = 10 diketahui dan sebuah fungsi diberikan seperti di bawah ini

{(x,y)| x ≥ 0; y ≥ 0; 2x + 3y ≤ 8; 3x + 2y ≤ a}

Tentukan nilai a pada fungsi di atas sehingga nilai maksimum x + y = 10

Diskusi

Pertama kita perlu menulis semua fungsi dengan benar seperti contoh di bawah ini.

x ≥0

y ≥0

2x + 3y ≤ 8

3x + 2y ≤ a

Kemudian, lakukan penjumlahan dari kedua fungsi di atas.

2x + 3y ≤ 8

3x + 2y ≤ a +

5x + 5y ≤ 8 + a

5 (x + y) ≤ 8 + a

5 (10) ≤ 8 + a

50 – 8 ≤ a

42 ≤ a

Jadi, nilai a ≥ 42 untuk mendapatkan nilai maksimum dari x + y = 10.

3. Punto adalah seorang pengecer dengan modal Rp. 1.000.000 untuk membeli wine dan sticky notes. Harga beli per kg buah anggur adalah Rp. 4000 dalam sticky note besar adalah Rp. 1600. Gudang Punto hanya mampu menampung 400 kg. Tentukan jumlah maksimum buah anggur dan beras ketan.

Diskusi

Seperti soal sebelumnya, kita dapat membuat contoh pada soal ini dimana wine merupakan fungsi dari x dan ketan merupakan fungsi dari y. Sehingga bentuk pertidaksamaan tersebut dapat kita tuliskan sebagai berikut.

Fungsi kapasitas: x + y ≤ 400

Fungsi modal: 4000x + 1600y ≤ 1.000.000 disederhanakan menjadi 5x + 2y ≤ 1250

x ≤ 0; y ≤ 0

Dari persamaan tersebut kita dapat membentuk diagram sesuai dengan nilai maksimum pada setiap persamaan. Kita dapat memasukkan nilai 0 dan 400 ke dalam setiap persamaan, sehingga kita dapat menemukan titik ekstrimnya.

  • Titik 1 (0,400) merupakan titik ekstrim tetapi tidak ada fungsi wine
  • Titik 3 (400,0) merupakan titik ekstrim tetapi tidak ada fungsi beras ketan
  • Poin 2 (xBdanB ) dengan menghilangkan dua fungsi di atas.

5x + 2y ≤ 1250

x + y ≤ 400 | x2 –

5x + 2y ≤ 1250

2x + 2y ≤ 800 –

3x ≤450

Jadi nilai x adalah 150. Jumlah arak dan beras ketan adalah 400, sedangkan jumlah buah anggur adalah 150, maka jumlah beras ketan adalah 250.

5. Diketahui suatu fungsi f(x,y) = 4x + 5y pada grafik di bawah ini. Tentukan garis maksimum dari fungsi tersebut

Contoh Soal Linear Programming No.5

Diskusi

Pertama, kita perlu melihat titik ekstrim pada gambar di atas. Sehingga didapatkan titik ekstrim B (3,6), C (8,2) dan D (8,0).

Lalu kita masukkan titik ekstrim ini ke dalam persamaan f(x,y) = 4x + 5y.

Nilai terbesar adalah titik maksimum. Berdasarkan perhitungan, titik maksimum melintasi garis BC. Jadi dapat disimpulkan bahwa BC adalah garis maksimum.

6. Pada ilustrasi berikut terdapat permasalahan terkait penumpang pesawat, berat bagasi, dan harga tiket.

Ada 48 kursi penumpang di pesawat terbang. Setiap penumpang kelas utama dapat membawa bagasi maksimal 60 kg, sedangkan penumpang kelas ekonomi hanya diperbolehkan membawa bagasi maksimal 20 kg. Pesawat hanya dapat membawa bagasi penumpang total maksimal 1440 kg. Jika harga tiket penumpang kelas utama Rp 1.500.000,00 dan penumpang kelas ekonomi Rp 1.000.000,00, tentukan jumlah tempat duduk kelas utama dan kelas ekonomi agar pendapatan dari penjualan tiket maksimum.

Diskusi

Misalkan variabel pembatas diilustrasikan sebagai berikut.

  • x : jumlah penumpang kelas satu
  • y : jumlah penumpang kelas ekonomi

Tentukan fungsi tujuan:

Fungsi tujuan dari masalah ini adalah untuk menentukan pendapatan maksimum:

z = 1.500.000 x + 1.000.000 y

Kembangkan model dari variabel kendala:

Jumlah kursi maksimum adalah 48.

Jumlah maksimal bagasi adalah 60 kg (kelas satu) dan 20 kg (kelas ekonomi) dengan jatah bagasi maksimal 1.440 kg.

Sehingga

x + y ≤ 48

60 x + 20 y ≤ 1,440

Grafik fungsi:

x + y ≤ 48

Titik-titik yang dilalui garis tersebut adalah (48, 0) dan (0, 48)

60 x + 20 tahun ≤ 1440

Titik-titik yang dilalui garis tersebut adalah (24, 0) dan (0, 72)

Grafik fungsi pemaksaan adalah sebagai berikut.

Program linier

Tentukan titik potong kedua grafik tersebut.

Diperoleh dari menggunakan konsep SPLDV

x + y = 48 à y = 48 – x

60 x + 20 y = 1,440

Sehingga

60 x + 20 (48 – x) = 1,440

60x + 960 – 20x = 1.440

40x = 1.440 – 960

40 x = 480

x = 480/40 = 12

x + y = 48

x = 12 hingga y = 48 – 12 = 36

Titik potong kedua garis di (12, 36)

Menentukan daerah pemukiman.

Lihat area solusi berikut.

Area penyelesaian program linier

Pada gambar terdapat daerah larutan berwarna ungu. Langkah selanjutnya adalah menghitung nilai optimal dari fungsi tujuan.

Poin optimalnya adalah (0, 0), (24, 0), (12, 36) dan (0, 48).

Fungsi tujuan: z = 1.500.000 x + 1.000.000 y

(0, 0) ke z = 1.500.000 (0) + 1.000.000 (0) = 0

(24, 0) à z = 1.500.000 (24) + 1.000.000 (0) = 36.000.000

(12, 36) à z = 1.500.000 (12) + 1.000.000 (36) = 18.000.000 + 36.000.000 = 54.000.000

(0,48) ke z = 1.500.000 (0) + 1.000.000 (48) = 48.000.000

Penjualan tiket maksimal adalah 54.000.000

Jadi, untuk memaksimalkan penjualan tiket, jumlah penumpang kelas satu sebanyak 12 penumpang dan jumlah penumpang kelas ekonomi sebanyak 36 penumpang.

kesimpulan

  • Linear programming merupakan salah satu teknik optimasi yang digunakan dalam berbagai bidang untuk menentukan optimalisasi suatu kegiatan (misalnya produksi, penjualan, dll).
  • Langkah-langkah perhitungan dengan program linear adalah menentukan variabel kendala, menyusun fungsi tujuan, menyusun model, menggambar grafik model, menentukan titik potong grafik, menentukan luas pemukiman dan nilai optimal untuk menentukan fungsi tujuan.

Demikianlah pembahasan tentang program linier. Semoga bermanfaat untuk semua pembaca. Baca juga Persamaan linear.

website Pelajaran SD SMP SMA dan Kuliah Terlengkap

Materi pelajaran terlengkap

mata pelajaran
jadwal mata pelajaran mata pelajaran sma jurusan ipa mata pelajaran sd mata pelajaran dalam bahasa jepang mata pelajaran kurikulum merdeka mata pelajaran dalam bahasa inggris mata pelajaran sma jurusan ips mata pelajaran sma
bahasa inggris mata pelajaran
bu ani memberikan tes ujian akhir mata pelajaran ipa
tujuan pemberian mata pelajaran pendidikan kewarganegaraan di sekolah adalah
dalam struktur kurikulum mata pelajaran mulok bersifat opsional. artinya mata pelajaran smp mata pelajaran ipa mata pelajaran bahasa indonesia mata pelajaran ips mata pelajaran bahasa inggris mata pelajaran sd kelas 1
data mengenai mata pelajaran favorit dikumpulkan melalui cara
soal semua mata pelajaran sd kelas 1 semester 2 mata pelajaran smk mata pelajaran kelas 1 sd mata pelajaran matematika mata pelajaran ujian sekolah sd 2022
bahasa arab mata pelajaran mata pelajaran jurusan ips mata pelajaran sd kelas 1 2021 mata pelajaran sbdp mata pelajaran kuliah mata pelajaran pkn
bahasa inggrisnya mata pelajaran mata pelajaran sma jurusan ipa kelas 10 mata pelajaran untuk span-ptkin mata pelajaran ppkn mata pelajaran ips sma mata pelajaran tik
nama nama mata pelajaran dalam bahasa inggris mata pelajaran pkn sd mata pelajaran mts mata pelajaran pjok
nama nama mata pelajaran dalam bahasa arab mata pelajaran bahasa inggrisnya mata pelajaran bahasa arab
seorang pengajar mata pelajaran akuntansi di sekolah berprofesi sebagai
nama mata pelajaran dalam bahasa jepang
hubungan bidang studi pendidikan kewarganegaraan dengan mata pelajaran lainnya
dalam struktur kurikulum mata pelajaran mulok bersifat opsional artinya mata pelajaran dalam bahasa arab
tujuan mata pelajaran seni rupa adalah agar siswa

Tinggalkan Balasan

Alamat email Anda tidak akan dipublikasikan. Ruas yang wajib ditandai *