Memahami sistem persamaan linear dan metode penyelesaiannya – Metropro

Sistem persamaan linier | Persamaan linier sama dengan persamaan aljabar, yang merupakan sistem aritmatika dalam matematika dan dapat direpresentasikan dalam bentuk garis lurus dalam grafik. Sistem persamaan linier disebut juga sistem persamaan garis. Dan pada pembahasan sebelumnya kita telah mempelajari rumus sistem persamaan garis lurus, sehingga tentunya kita masih ingat bagaimana cara mendeskripsikan bentuk persamaan tersebut.

Lalu bagaimana cara atau metode untuk menyelesaikan sistem persamaan linear? Pada pembahasan kali ini, kita akan mempelajari apa itu persamaan linear dan bagaimana cara menyelesaikan persamaan linear secara lengkap dan akurat.

Sebelum kita mempelajari metode penyelesaian sistem persamaan linier, terlebih dahulu kita harus memahami pengertian himpunan terbuka dan definisi persamaan serta sistem persamaan linier. Agar kita tidak bingung saat menyelesaikan persamaan linear.

A. Definisi himpunan terbuka, persamaan dan persamaan linier

Buka kalimat yaitu kalimat yang memiliki atau mengandung variabel.

Persamaan yang merupakan kalimat terbuka yang menyatakan bahwa relasinya sama (=).

Persamaan linear yaitu persamaan yang setiap sukunya memuat konstanta dengan variabel berderajat satu (tunggal) dan persamaan ini dapat digambarkan dalam grafik dalam sistem koordinat kartesius.

Persamaan akan tetap benar atau EKUIVALEN ( < = > ), bila ruas kiri dan ruas kanan bilangan yang sama dijumlahkan atau dikurang.

Bentuk umum persamaan linier:

y = mx + b

Contoh bentuk persamaan linear:

y = -x + 5

y = -05x + 2

Contoh bentuk grafis dari persamaan linier:

Dari gambar di atas dapat kita simpulkan bahwa m atau gradien = 0,5 ab atau titik perpotongan y = 2 (pada garis merah)

B. Metode penyelesaian persamaan linier

Ada beberapa metode yang dapat digunakan untuk menyelesaikan masalah persamaan linear, metode tersebut adalah:

A. Metode substitusi

B. Metode eliminasi

C. Metode campuran (eliminasi dan substitusi)

D. Metode grafis

Berikut penjelasan lebih detail mengenai metode penyelesaian persamaan linier:

1. Metode substitusi

Metode substitusi adalah metode atau cara penyelesaian persamaan linier dengan cara mengganti salah satu variabel dalam satu persamaan dengan variabel yang diperoleh dari persamaan linier yang lain.

Untuk lebih jelasnya perhatikan contoh berikut:

Jika persamaan x + 3y = 7 dan 2x + 2y = 6 diketahui, tentukan himpunan penyelesaiannya:

Larutan:

x + 3y = 7

< = > x = -3y + 7. . . .(1)

Kemudian, masukkan persamaan (1) ke persamaan (2) untuk mencari nilai y

2x + 2y = 6

< = > 2 (-3y + 7) + 2y = 6

< = > -6y + 14 + 2y = 6

< = > -6y + 2y = 6 – 14

< = > -4 tahun = –8

< => y = 2

Gunakan persamaan antara persamaan (1) atau (2) untuk mencari nilai x

x + 3y = 7

< = > x + 3 ( 2 ) = 7

< = > x + 6 = 7

< = > x = 1

Jadi HP = { 1 , 2 }

2. Metode eliminasi

Metode Eliminasi, yaitu suatu metode penyelesaian sistem persamaan linier dengan cara menghilangkan atau menghilangkan salah satu variabel dengan cara menjumlahkan atau mengurangkannya dengan cara menyamakan koefisien-koefisien yang dihilangkan, tanpa memandang nilai positif atau negatif.

Jika variabel yang akan dihilangkan memiliki tanda yang sama, maka untuk menghilangkannya dilakukan sistem operasi pengurangan. Dan sebaliknya, jika variabel yang akan dihilangkan memiliki tanda yang berbeda, maka gunakan operasi penjumlahan untuk menyelaraskan.

Untuk lebih jelasnya perhatikan contoh berikut:

Masih menggunakan contoh yang sama, namun dengan cara yang berbeda yaitu:

Diketahui ada dua persamaan x + 3y = 7 dan 2x + 2y = 6, tentukan HP dari persamaan tersebut!

Langkah pertama adalah mengeliminasi dengan menghilangkan variabel atau koefisien x untuk mencari nilai y

2x + 2y = 6 : 2

< = > x + y = 3

maka lakukanlah

x + 3y = 7

x + y = 3 _

2 tahun = 4

y = 2

Langkah selanjutnya adalah menghilangkan dengan mengurangkan untuk menghilangkan variabel atau koefisien y untuk mencari nilai x

2x + 2y = 6| x3| < = > 6x + 6y = 18

x + 3y = 7| x 2| < = > 2x + 6 tahun = 14 _

4x + 0 = 4

x = 1

Sehingga himpunan penyelesaian yang dihasilkan adalah sama yaitu HP = {1, 2}

3. Metode campuran (antara eliminasi dan penggantian)

Yang dimaksud dengan cara ini adalah jika kita mencari himpunan penyelesaian dengan menggunakan dua cara, kita dapat menggunakan eliminasi terlebih dahulu setelah mengetahui nilai salah satu variabelnya, apakah x atau y, kemudian dapatkah kita memasukkan substitusinya metode atau sebaliknya.

Untuk lebih jelasnya lihat contoh berikut:

Diketahui ada dua persamaan x + 3y = 7 dan 2x + 2y = 6, tentukan HP dari persamaan tersebut!

Langkah pertama adalah melakukan metode eliminasi untuk mencari nilai x

2x + 2y = 6| x3| < = > 6x + 6y = 18

x + 3y = 7| x 2| < = > 2x + 6 tahun = 14 _

4x + 0 = 4

x = 1

Selanjutnya, substitusikan nilai x ke salah satu persamaan:

x + 3y = 7

< = > 1 + 3y = 7

< = > 3 tahun = 7 – 1

< = > 3 tahun = 6

< => y = 2

Maka hasilnya sama yaitu HP = { 1 , 2 }

4. Metode grafis

Metode grafis, yaitu dengan membuat dua persamaan pada grafik Cartesian dan himpunan penyelesaian dari titik potong kedua garis tersebut. Yang harus diperhatikan adalah pada saat menggambar titik sumbu kartesius harus sama dan konsisten.

Untuk lebih jelasnya perhatikan gambar grafik berikut ini:

Gambarkan grafik persamaan x + 3y = 7 dan 2x + 2y = 6, dan tentukan titik potongnya

Dari gambar di atas dapat kita lihat bahwa titik potong berada di { 1 , 2 } dengan kata lain HP = { 1 , 2 }

Demikian penjelasan tentang sistem persamaan linear dan cara penyelesaiannya. Semoga dengan penjelasan di atas kita bisa lebih memahami apa itu sistem persamaan dan cara penyelesaiannya. Untuk memudahkan dalam menyelesaikan suatu sistem persamaan, langkah pertama yang harus dilakukan adalah memahami bentuk persamaan linier itu sendiri, kemudian memahami metode-metodenya. Semoga bermanfaat dan dapat membantu permasalahan dalam menyelesaikan persamaan linier.