Induksi Matematika – Makalah, Prinsip dan Contoh Soal – Metropro

Induksi matematika – Hallo pengguna setia Rumrumus.com, kalau ngomongin topik apa yang paling tidak kamu sukai, apa jawaban yang paling mungkin? Apakah ada di antara Anda yang menyukai pelajaran matematika ini? Berbicara tentang matematika sama halnya dengan membahas perhitungan tentunya. Itulah sebabnya sebagian orang, terutama siswa, mungkin tidak terlalu menyukai pelajaran ini.

Walaupun belajar matematika tidak begitu sulit, namun keseharian kita pasti penuh dengan perhitungan, nah kali ini kita akan membahas tentang induksi matematika yang seringkali terjadi tanpa kita sadari dalam kehidupan kita.

memahami

Induksi matematika adalah metode pembuktian di mana metode deduktif digunakan untuk membuktikan pernyataan matematika yang bergantung pada sekumpulan angka yang terdefinisi dengan baik (diatur dengan baik). Misalnya bilangan asli atau himpunan bagian bilangan asli yang tidak kosong.

Objektif

Perlu ditekankan bahwa induksi matematika hanya digunakan untuk membuktikan kebenaran suatu pernyataan atau rumus, bukan untuk menurunkan rumus.

Lebih khusus, atau intinya, induksi matematika ini tidak dapat digunakan untuk menurunkan atau menemukan rumus.

Contoh

Setelah membaca penjelasan sebelumnya, berikut adalah beberapa contoh pernyataan matematika yang dapat dibuktikan dengan induksi matematika:

P(n): 2 + 4 + 6 + … + 2n = n(n + 1), n ​​adalah bilangan asli
P(n): 6^N + 4 habis dibagi 5, karena n sendiri bilangan asli.
P(n): 4n < 2^Nuntuk setiap bilangan asli n ≥ 4

Cara awal yang paling mudah untuk memahami prinsip kerja induksi matematika adalah dengan mengamati efek domino. Kita bisa mulai dengan mengajukan pertanyaan “kapan semua domino akan jatuh?”.

Ada dua syarat yang harus dipenuhi agar semua kartu domino jatuh:

Pertama: domino pertama atau 1 harus jatuh.
Kedua: benar, jika setiap domino yang jatuh, tepat satu domino yang akan jatuh di domino berikutnya.
Artinya jika domino 1 tumbang, begitu juga dengan domino 2, lalu domino 2 tumbang, lalu domino 3 tumbang, dan seterusnya sampai habis.

Secara umum bisa dikatakan jika k domino jatuh maka (k + 1) domino juga jatuh dan implikasi dari ini berlaku untuk semua domino.

Agar kedua syarat diatas terpenuhi, maka dipastikan semua domino akan tumbang.

Baca juga: Contoh soal induksi matematika

Prinsip

Karena P(n) adalah ekspresi yang bergantung pada n. P(n) benar jika setiap bilangan asli n memenuhi 2 syarat berikut:

1. P(1) benar, artinya untuk n = 1 maka P(n) benar.
2. Untuk setiap bilangan asli k, maka P(k) benar sehingga P(k + 1) juga benar.

Prinsip di atas dapat diperluas ke pernyataan yang bergantung pada himpunan bagian tak kosong dari bilangan asli.

Ekspansi prinsip:
Karena P(n) adalah ekspresi yang bergantung pada n. P(n) benar untuk sembarang bilangan asli n ≥ m jika memenuhi 2 syarat berikut:

1. P(m) benar, artinya untuk n = m, maka P(n) benar
2. Setiap bilangan asli k ≥ m, maka P(k) benar dan P(k + 1) juga benar.

Untuk menunjukkan bahwa P(1) benar, kita substitusikan n = 1 ke P(n). Jika P(n) disajikan dalam bentuk persamaan, artinya ruas kiri harus sama dengan ruas kanan ketika n = 1, maka dapat disimpulkan bahwa P(1) benar. Dengan cara yang sama, dapat diterapkan untuk menunjukkan bahwa P(m) benar.

Kembali pada kasus domino yang terjadi di atas, agar domino (k+1) jatuh, maka domino k harus jatuh terlebih dahulu, sehingga implikasinya “jika domino k jatuh, maka domino berikutnya (k+1) juga” dapat terjadi.

Jadi untuk menunjukkan implikasi “jika P(k) benar, maka P(k + 1) pasti juga benar”, pertama-tama kita dapat mengandaikan atau mengasumsikan apakah P(k) benar.

Kemudian berdasarkan asumsi tersebut kita tunjukkan bahwa P(k + 1) juga pasti benar. Langkah mengasumsikan bahwa P(k) benar dikenal sebagai hipotesis induksi.

Langkah bukti

Setelah mengetahui prinsipnya, berikut adalah langkah-langkah pembuktian induksi matematika yang dapat diuraikan sebagai berikut:

1. Langkah dasar : Menunjukkan ketika P(1) benar.
2. Langkah induksi : Asumsikan bahwa P(k) juga benar untuk setiap bilangan asli, maka tunjukkan bahwa P(k+ 1) juga harus benar pada asumsi tersebut.
3. kesimpulan : P(n) benar untuk setiap bilangan asli n.

Bukti seri

Berikut ini adalah hal-hal yang harus diperhatikan tentang deret sebelum masuk ke dalam pembuktian deret.

Jika P(n): u₁ + kamu₂ + kamu₃ + …+ dll_N = hal_N seperti ini
P(1): u₁ = hal₁
P(k): u₁ + kamu₂ + kamu₃ + …+ dll_k = hal_k
P(k + 1): u₁ + kamu₂ + kamu₃ + …+ dll_k + kamu_k+1 = hal_k+1

Contoh
Buktikan 2 + 4 + 6 + … + 2n = n(n + 1), untuk semua n bilangan asli.

Menjawab:
P(n): 2 + 4 + 6 + … + 2n = n(n + 1)
Buktikan segera bahwa P(n) benar untuk semua n ∈ N

Langkah dasar :
Segera ditunjukkan bahwa P(1) benar
2 = 1 (1 + 1)
Maka P(1) benar

Langkah induksi:
Dengan asumsi jika P(k) benar
2 + 4 + 6 + … + 2k = k(k + 1), k ∈ N

Ditunjukkan langsung P(k + 1) juga akan benar, yaitu
2 + 4 + 6 + … + 2k + 2(k + 1) = (k + 1)(k + 1 + 1)

Hasil yang diasumsikan:
2 + 4 + 6 + … + 2k = k(k + 1)
Kemudian tambahkan sisi kanan dan kiri dengan u_k+1 :
2 + 4 + 6 + … + 2k + 2(k + 1) = k(k + 1) + 2(k + 1)
2 + 4 + 6 + … + 2k + 2(k + 1) = (k + 1)(k + 2)
2 + 4 + 6 + … + 2k + 2(k + 1) = (k + 1)(k + 1 + 1)
Maka P(k + 1) benar

Berdasarkan prinsip yang dijelaskan sebelumnya, terbukti bahwa P(n) benar untuk setiap n bilangan asli ini.

Bukti pembagian

Pernyataan “a habis dibagi b” identik dengan:

1. A beberapa B
2. B faktor dari A
3. B membagikan A

“Jika p habis dibagi aaq habis dibagi a, maka (p + q) juga habis dibagi a”.
Misalnya :
4 habis dibagi 2 dan
6 habis dibagi 2,
Jadi (4 + 6) juga habis dibagi 2

Contoh
Buktikan jika 6^N + 4 habis dibagi 5, karena setiap n adalah bilangan asli.

Menjawab:
P(n): 6^N +4 habis dibagi 5
Kemudian buktikan segera bahwa P(n) benar untuk semua n ∈ N.

Langkah dasar :
Segera ditunjukkan bahwa P(1) benar
6¹ + 4 = 10 habis dibagi 5
Jadi P(1) benar

Langkah induksi :
Asumsikan bahwa P(k) benar, yaitu
6^k + 4 habis dibagi 5, k ∈ N

Ditunjukkan langsung P(k + 1) juga akan benar, yaitu
6^k+1 +4 habis dibagi 5.

6^k+1 + 4 = 6(6^k) + 4
6^k+1 + 4 = 5(6^k) + 6^k +4

baik 5(6^k) habis dibagi 5 dan
6^k + 4 habis dibagi 5,
Alasan 5 (6^k) + 6^k +4 juga habis dibagi 5.
Jadi P(k + 1) benar.

Berdasarkan prinsip induksi matematika yang dibahas, terbukti 6^N + 4 habis dibagi 5, untuk semua n bilangan asli ini.

“Bilangan bulat a habis dibagi dengan bilangan bulat b jika ada bilangan bulat m sehingga a = bm berlaku.
Misalnya, “10 habis dibagi 5” adalah benar karena merupakan bilangan bulat m = 2 jadi 10 = 5,2. Maka pernyataan bahwa “10 habis dibagi 5” dapat ditulis menjadi “10 = 5m, untuk m adalah bilangan bulat”
Menurut konsep di atas, pembuktian pembagian juga dapat diselesaikan dengan cara berikut.

Bukti ketidaksetaraan

Sebelum contoh tentang ini, pertimbangkan sifat-sifat ketidaksetaraan berikut yang umum digunakan:

Sebelum masuk ke contoh soal, alangkah baiknya kita terlebih dahulu mempraktekkan sifat-sifat di atas agar kita bisa menunjukkan implikasinya “jika P(k) benar, maka P(k + 1) bisa juga benar” .

Bagaimana:
P(k): 4k < 2^k
P(k + 1): 4(k + 1) < 2^k+1
Jadi diasumsikan jika P(k) benar untuk k ≥ 5, tunjukkan jika P(k + 1) juga benar!

Ingatlah bahwa tujuan pertama adalah tampil
4(k+1) < 2^k+1 = 2(2^k) = 2^k +2^k (sasaran)

Yang pertama dapat dimulai dari ruas kiri bentuk pertidaksamaan di atas:
4(k + 1) = 4k + 4
4(k+1) < 2^k + 4 (karena 4k < 2^k)
4(k+1) < 2^k +2^k (karena 4 < 4k < 2^k)
4(k + 1) = 2(2^k)
4(k+1) = 2^k+1

Berdasarkan sifat transitif yang telah dijelaskan, maka dapat disimpulkan
4(k+1) < 2^k+1

Mengapa 4k bisa berubah menjadi 2^k ?
Menurut sifat ke-3, Anda dapat menjumlahkan kedua sisi pertidaksamaan dengan bilangan yang sama karena Anda tidak dapat mengubah nilai kebenaran dari pertidaksamaan tersebut. Karena 4k < 2^k benar, jadi 4k + 4 < 2^k +4 juga benar.

Bagaimana kita tahu, 4 harus diubah menjadi 2^k ?
Fokus pada tujuan awal Anda. Hasil sementara adalah 2^k +4 sedangkan target awal adalah 2^k +2^k.

Jika k ≥ 5, maka 4 < 4k dan 4k < 2^k benar, jadi 4 < 2^k juga benar (yang transitif). Akibatnya 2^k +4<2^k +2^k benar (di mana atribut bentuk 3).

Contoh
Buktikan bahwa untuk setiap bilangan asli berlaku n ≥ 4
3n < 2^N.

Menjawab:
P(n): 3n < 2^N
Buktikan secara langsung bahwa P(n) juga berlaku untuk n ≥ 4, n ∈ NN

Langkah dasar :
Segera ditunjukkan bahwa P(4) benar
3,4 = 12 < 2⁴ = 16
Jadi P(4) benar

Langkah induksi :
Kemudian asumsikan bahwa P(k) juga benar, yaitu
3k < 2^kk ≥4

Segera ditunjukkan bahwa P(k + 1) juga benar, yaitu
3(k + 1) < 2^k+1

3(k + 1) = 3k + 3
3(k + 1) < 2^k + 3 (karena 3k < 2^k)
3(k + 1) < 2^k +2^k (karena 3 < 3k < 2^k)
3(k + 1) = 2(2^k)
3(k + 1) = 2^k+1

Maka P(k + 1) juga benar

Berdasarkan prinsip induksi matematika yang dibahas, terbukti bahwa P(n) berlaku untuk setiap bilangan asli n ≥ 4.

Demikian pembahasan artikel ini, semoga bermanfaat dan memberikan pengetahuan baru bagi para pembaca.

Baca juga artikel lainnya :