Urutan bilangan aritmatika dan geometri – Metropro

nomor baris | Urutan bilangan merupakan salah satu bentuk cabang matematika yang merupakan materi bentuk kelanjutan dari pola bilangan yang telah kita pelajari pada pembahasan sebelumnya. Barisan bilangan terdiri dari barisan aritmetika dan barisan geometri. Sebelum kita mempelajari secara detail atau mendalam, terlebih dahulu kita mempelajari pengertian dari barisan bilangan.

A. Pengertian Barisan Bilangan

Urutan bilangan adalah susunan bilangan dari kiri ke kanan yang memiliki pola tertentu. Setiap anggota barisan bilangan disebut dengan istilah bilangan atau biasa dilambangkan dengan “U”.

Contoh:

3,4,5,6,7,8,9,10,. . . .

1,2,4,8,16,32,. . . .

B. Jenis-Jenis Barisan Bilangan

Ada dua jenis urutan nomor:

1. Garis bilangan aritmatika
2. Urutan bilangan geometri

C. Pengertian Barisan Aritmetika dan Geometri

1. Urutan Bilangan Aritmetika (Penjumlahan)

Barisan bilangan aritmetika yaitu barisan yang selisih suku-suku yang berdekatan tetap atau disebut juga barisan aritmatika dengan suku berikutnya merupakan penjumlahan suku sebelumnya dengan perbandingan.

• Membentuk barisan aritmatika

A. Urutan aritmatika kelas 1

Secara umum, barisan aritmatika ditulis sebagai berikut:

a, a+b, a+2b, a+3b, a+4b, . . . .

U1 = a

U2 = a+2b

U3 = a+3b

U4 = a+4b

U10 = a + 9b

Sehingga diperoleh rumus barisan aritmatika sebagai berikut:

• Rumus barisan aritmatika

Un = a + (n – 1) b

b = Un -U(n-1) atau b= U(n+1) – Un

Informasi:

Un = suku ke-n

n = jumlah suku

a = suku pertama

b = rasio atau selisih

Contoh soal

1. 7, 13, 19, 25, 31, 37, . . .

Dari barisan bilangan di atas, tentukan:

dan A

b.)b

Resolusi:

a.) a = suku pertama kemudian a = 7

b.) b = U2 – U1

= 13-7

b = 6

2. Susunan aritmetika suku ke-3 = 13 dan suku ke-6 = 28 . Mendefinisikan:

a.)b

b.) a

c.) U8

d.) Tuliskan enam suku pertama

Resolusi:

Diketahui: U3 = 13 dan U6 = 28

Menjawab:

A. ) U3 = 13 ->> a + 2b = 13

U6 = 28 ->> a + 5b = 28 _

-3b = -15

b = -15 / -3

b = 5

b.) a + 2b = 13

a + (2,5) = 13

a + 10 = 13

a = 3

c.) Un = a + (n-1)b

U8 = a + 7b

= 3+7. 5

= 38

d.) 3,8,13,18,23,28,. . .

B. Urutan aritmatika kelas dua

Barisan aritmatika derajat dua, yaitu barisan aritmetika yang selisih atau perbandingannya tidak tetap dan bila selisihnya dijadikan barisan akan terbentuk perbandingan tetap atau akan mengalami dua tahap kemudian akan diketahui selisih atau perbandingannya sama atau tetap.

Rumus umum barisan aritmatika derajat kedua adalah :

Un = an² +bn +c

Contoh:

1, 3, 6, 10, 15, … .

Dari barisan aritmatika di atas, tentukan:

a.) Un

b.) U20

Resolusi:

Barisan di atas adalah barisan aritmatika derajat kedua, karena dua langkah baru memiliki rasio yang sama.

Misalnya Un = an² +bn +c

U1 = 1 –> a + b + c = 1 . . . . .(1)

U2 = 3 –> 4a + 2b + c = 3 . . . (2)

U3 = 6 –> 9a + 3b + c = 6 . . .(3)

• Dari persamaan (2) dan (1)

4a + 2b + c = 3

a + b + c = 1 _

3a + b = 2. . . .(4)

• Dari persamaan (3) dan (2)

9a + 3b + c = 6

4a + 2b + c = 3 _

5a + b = 3. . . . (5)

• Dari persamaan (5) dan (4) dicari nilai a

5a + b = 3

3a + b = 2 _

2a = 1

a = 1/2

• Carilah nilai b, lalu gunakan salah satu persamaan dan kali ini agar lebih mudah, gunakan persamaan (4)

3a + b = 2

3,1/2 + b = 2

1 1/2 + b = 2

b = 1/2

• Cari nilai c, lalu gunakan persamaan (1)

a + b + c = 1

1/2 + 1/2 + c = 1

1 + c = 1

c = 0

• cari Un, lalu gunakan persamaan misalnya, yaitu

Un = an² +bn +c

= 1/2n² +1/2n +0

= 1/2 n (n + 1)

jadi, jawabannya adalah:

a.) Un = 1/2 n ( n + 1 )

b.) U20 = . . .?

Un = 1/2 n (n + 1)

U20 = 1/2 .20 ( 20 + 1 )

= 10 (21) = 210

2. Deret bilangan geometri (perkalian)

Barisan bilangan geometri, yaitu barisan bilangan yang suku-sukunya terdiri dari atau dibentuk dengan mengalikan perbandingan dengan suku sebelumnya.

Bentuk umum barisan geometri adalah :

a, ar, ar² ar³ ar⁴ ar⁵ , . . . . .

U1 = a

U2 = ar

U3 = ar²

U4 = ar³

U10 = tahun⁹

Jadi, Rumus barisan bilangan geometri secara umum adalah

Un = ar^n-1

Contoh masalah:

1. Barisan geometri dengan U3 = 18 dan U6 = 486. Tentukan:

a.) a dan r

b.) U7

c.) Tuliskan tujuh suku pertama

Resolusi:

Diketahui bahwa: U3 = 18 U6 = 486

Menjawab:

a.) U3 = 18 –> thn² = 18

U6 = 486 -> tahun ⁵ = 486

U6 / U3 = 486 / 18 —-> thn ⁵ / thn² = 486/18

–> r³ = 27

r = 3

ar² = 18

A. 3² = 18

a = 2

b.) U7 = ar ⁶

= 2.3 ⁶ = 2. 729 = 1458

c.) tujuh suku pertama, yaitu:

2, 6, 18, 54, 162, 486, 1458, . . .

Rumus suku tengah barisan aritmetika

Sebagai informasi tambahan, hanya saja pada suatu barisan aritmetika yang memiliki bilangan ganjil, maka di bawah barisan aritmetika tersebut terdapat suku tengah dari barisan aritmetika tersebut. Kemudian pada Cara mencari suku tengah deret aritmatika dapat dilihat rumusnya seperti di bawah ini:

U† = 1/2 (U1+Un)

Demikian penjelasan tentang barisan bilangan aritmatika dan geometri. Intisari atau kunci dari pembahasan kali ini adalah kita mengenal untuk pertama kalinya bagaimana barisan aritmetika terbentuk dan bagaimana barisan geometri terbentuk. Setelah paham, barulah mempelajari bagaimana rumus dan komponen apa saja yang ada di dalamnya.

Membedakan barisan aritmetika dan geometri sebenarnya sangat mudah, yaitu jika satu suku dengan suku lainnya merupakan hasil selisih ditambah suku sebelumnya, bentuk ini disebut barisan bilangan aritmetika. Sebaliknya, jika suku suatu barisan bilangan merupakan perkalian suku sebelumnya dengan pembaginya, bentuk ini disebut barisan bilangan geometris.